Formulazione generale della matrice delle rigidezze

Si consideri un corpo elastico lineare soggetto ad un sistema di forze conservative. Sia V il suo volume ed S la sua superficie, allora  il funzionale Energia Potenziale Totale si ottiene sottraendo dall’energia di deformazione del mezzo il lavoro delle forze applicate ovvero:

Gli spostamenti nodali si ottengono interpolando i gradi di libertà degli elementi, contenuti nel vettore d, attraverso la matrice delle funzioni di forma N:

Le deformazioni si ottengono dagli spostamenti tramite differenzazione.

dove:

e rappresenta l’operatore deformazione-spostamento.

La matrice operatore differenziale

è definita, nel caso di problemi piani, come:

Sostituendo all’Equazione 14 le espressioni di u e di ε, si ricava:

dove la sommatoria include tutti i contributi provenienti dagli elementi finiti della struttura.

Gli elementi della matrice delle rigidezze e gli elementi equivalenti del vettore dei carichi nodali sono definiti come:

dove Ve ed Se rappresentano rispettivamente il volume e la superficie di un singolo elemento.

Sostituendo nell’Equazione 14 al vettore d il vettore D, contenente i gradi di libertà strutturali globali, l’Equazione 14 si trasforma come segue:

Con:

dove K rappresenta la matrice delle rigidezze globale ed R il vettore delle forze nodali espresse nelle coordinate globali.

Nell’Equazione 22 la sommatoria indica l’assemblaggio degli elementi della matrice e dei vettori. In questo modo il funzionale Energia Potenziale Totale Wp dipende dai gradi di libertà D e gode della proprietà di stazionarietà:

O in maniera esplicita:

ottenendo le equazioni algebriche simultanee da risolvere per le n incognite che rappresentano gli spostamenti associati ad ogni grado di libertà componente il vettore D.

Pertanto:

Dove K e R rappresentano rispettivamente la matrice delle rigidezze globale e il vettore dei carichi nodali assemblati per l’intera struttura.