Stratigrafia di fondazione e reticolo di flusso¶

ESD permette di modellare la stratigrafia della fondazione con un modello a due strati (uno permeabile in cui transita l'acqua e uno impermeabile alla base) e di tracciare il reticolo di flusso (rete di filtrazione) sotto e attraverso l'argine, con il calcolo di portata, gradiente di efflusso e fattore di sicurezza a sifonamento.

Come si usa¶

1. Scheda Stratigrafia¶

Nella scheda Stratigrafia si definiscono i due strati di fondazione. Per ciascuno strato si inseriscono:

Dato	Unità	Note
Spessore	m	spessore dello strato
Peso unità di volume	kN/m³	γ
Peso unità di volume saturo	kN/m³	γ_sat
Angolo di resistenza al taglio	°	φ
Coesione	kPa	c
Permeabilità K_v	m/s	permeabilità verticale
Permeabilità K_o	m/s	permeabilità orizzontale
Colore	—	clic sul riquadro per scegliere il colore di riempimento

Lo strato 1 (in alto) è quello permeabile dove avviene la filtrazione; lo strato 2 è quello impermeabile che fa da base impermeabile al moto di filtrazione.

Valori orientativi di permeabilità¶

Valori indicativi del coefficiente di permeabilità \(k\), da usare come riferimento e da sostituire con quelli reali del terreno (prove geotecniche):

Terreno	\(k\) (m/s)
Ghiaia pulita	10^-2 – 1
Sabbia grossa, ghiaia sabbiosa	10^-3 – 10^-2
Sabbia media	10^-4 – 10^-3
Sabbia fine	10^-5 – 10^-4
Sabbia limosa	10^-6 – 10^-5
Limo	10^-8 – 10^-6
Argilla	10^-11 – 10^-9

Nei depositi stratificati la permeabilità orizzontale \(k_o\) è in genere maggiore della verticale \(k_v\) (rapporto \(k_o/k_v\) tipicamente 2–10).

La permeabilità cambia la portata, non l'FS a sifonamento

Valori più bassi riducono la portata di filtrazione Q; il fattore di sicurezza a sifonamento dipende invece da geometria, carico e peso del terreno, non dal valore assoluto di \(k\) (vedi più sotto).

Aggiornamento automatico

Modificando lo spessore, il colore o le permeabilità, il disegno si rigenera automaticamente: i due strati compaiono come poligoni colorati sotto la sezione e il reticolo di flusso viene ricalcolato.

2. Il disegno¶

Nella vista grafica vengono rappresentati:

la sezione dell'argine con l'invaso;
i due strati di fondazione colorati;
il reticolo di flusso: in azzurro le linee equipotenziali, in blu le linee di flusso, sia nel corpo argine sia nella fondazione permeabile.

3. Scheda Verifiche — sezione Reticolo di flusso¶

Oltre alle verifiche di stabilità e alla verifica idraulica analitica, la scheda Verifiche riporta i risultati numerici del reticolo di flusso:

Portata di filtrazione Q;
Fattore di sicurezza a sifonamento (in verde se verificato, in rosso se inferiore al valore imposto);
Gradiente di efflusso al piede di valle.

È inoltre presente la legenda dei colori (equipotenziali / linee di flusso).

Teoria essenziale¶

Il moto di filtrazione in regime stazionario è governato dalla legge di Darcy (\(v = -k\,i\), con \(i\) gradiente idraulico) e, in mezzo anisotropo, dall'equazione di Laplace:

\[ k_o\,\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} + k_v\,\frac{\partial^2 h}{\partial y^2} = 0 \]

dove \(h\) è il carico idraulico totale. La sua soluzione fornisce la rete di flusso: la famiglia delle equipotenziali (\(h=\text{cost}\)) e quella delle linee di flusso, tra loro ortogonali.

ESD risolve il problema con un modello numerico semplificato alle differenze finite (non a elementi finiti):

in fondazione il moto è confinato tra il piano campagna e lo strato impermeabile;
nel corpo argine il moto è non confinato e la superficie freatica è assunta pari alla linea di saturazione già stimata dal programma (non viene ricalcolata iterativamente).

Portata di filtrazione — come si calcola¶

La portata di filtrazione Q è il volume d'acqua che attraversa l'argine per unità di larghezza [m³/s per metro]. ESD la fornisce in due modi.

1. Formula analitica (Dupuit) — a partire dalla lunghezza media del percorso di filtrazione:

\[ Q = \frac{4}{9}\,k_e\,\frac{H^2}{L_f}, \qquad k_e=\sqrt{k_o\,k_v} \]

\(k_e\) = permeabilità equivalente (media geometrica di \(k_o\) e \(k_v\));
\(H\) = carico (altezza di massimo invaso);
\(L_f\) = lunghezza media del percorso di filtrazione (relazione empirica \(L_f=(1{,}13\,H+2f)\cot\beta+b_1\), con \(f\) franco, \(\beta\) inclinazione del paramento di valle, \(b_1\) larghezza del coronamento).

2. Reticolo di flusso (numerico) — integrando il flusso di Darcy su una sezione verticale a metà base:

\[ Q=\sum_j w_j\,k_o\,\frac{h_{i-1,j}-h_{i+1,j}}{2\,\Delta x}\,\Delta y \]

dove \(h\) è il carico idraulico calcolato nei nodi della griglia.

Perché le due portate sono diverse

Le due stime usano permeabilità diverse: l'analitica usa la permeabilità equivalente \(k_e=\sqrt{k_o k_v}\) (isotropa), mentre il reticolo integra il flusso orizzontale reale, governato dalla permeabilità orizzontale \(k_o\). In presenza di anisotropia (\(k_o>k_v\)) la portata del reticolo risulta maggiore di un fattore \(\approx\sqrt{k_o/k_v}\) (es. \(k_o/k_v=10\Rightarrow\sqrt{10}\approx3{,}2\)); per terreno isotropo (\(k_o=k_v\)) le due coincidono. Sono entrambe stime dello stesso ordine di grandezza: il reticolo è più rigoroso (campo reale), l'analitica è una verifica speditiva.

La permeabilità sposta la portata, non il sifonamento

In un mezzo omogeneo il campo di carico \(h\) — e quindi i gradienti idraulici e l'FS a sifonamento — dipende solo dalla geometria, dal carico e dal rapporto \(k_v/k_o\), non dal valore assoluto della permeabilità. Ridurre \(k_o\) e \(k_v\) nella stessa proporzione abbassa la portata Q ma lascia invariato l'FS a sifonamento. Per migliorare il sifonamento si agisce su geometria, carico e filtri (vedi sotto), non sulla permeabilità.

Fattore di sicurezza a sifonamento — come si calcola¶

ESD riporta l'FS a sifonamento in due modi nella scheda Verifiche.

1. Formula analitica (Bligh) — basata sul percorso di filtrazione:

\[ FS = \frac{b_2}{K\,H} \]

\(b_2\) = larghezza di base dell'argine (\(b_2 = b_m + b_v + b_1\), proiezioni dei paramenti + coronamento);
\(K\) = rapporto critico di trascinamento (coeff. di Bligh; dipende dal terreno: ~4 argille dure e compatte, fino a ~20 limi/sabbie fini);
\(H\) = carico (altezza di massimo invaso).

2. Reticolo di flusso (numerico) — basato sul gradiente di efflusso estratto dalla rete:

\[ FS = \frac{i_{crit}}{i_{uscita}}, \qquad i_{crit} = \frac{\gamma_{sat}-\gamma_w}{\gamma_w} \]

\(i_{uscita}\) = gradiente di efflusso medio sulla zona di efflusso al piede di valle (mediato su una larghezza pari allo spessore dello strato permeabile, per evitare la singolarità d'angolo del singolo nodo → valore stabile rispetto alla griglia);
\(i_{crit}\) = gradiente critico (\(\approx 1\) quando \(\gamma_{sat}\approx 2\,\gamma_w\)); cresce con il peso di volume saturo \(\gamma_{sat}\) del terreno di fondazione.

Cosa fare se la verifica a sifonamento non è soddisfatta¶

La permeabilità non modifica l'FS (vedi nota sopra): per riportare la verifica in sicurezza si interviene su geometria, carico, dispositivi di controllo della filtrazione e peso del terreno:

incrementare lo sviluppo del percorso di filtrazione: maggiore larghezza di base, minore inclinazione dei paramenti, manto impermeabile di monte (allunga il percorso e abbassa \(i_{uscita}\));
diaframma di tenuta o palancolata al piede di monte (cut-off): intercetta il moto di filtrazione in fondazione;
filtro rovescio e dreno di piede a valle (eventuali pozzi di alleggerimento): raccolgono l'acqua impedendo il trasporto delle particelle;
berma stabilizzante zavorrata al piede di valle: il sovraccarico aumenta la resistenza all'efflusso e il gradiente critico \(i_{crit}\);
addensamento/compattazione del terreno di fondazione: aumenta il peso di volume saturo \(\gamma_{sat}\) → alza \(i_{crit}\), e riduce l'erodibilità (vuoti minori);
ridurre il carico idraulico (quota di massimo invaso): l'FS è inversamente proporzionale a \(H\), quindi abbassare l'invaso aumenta direttamente la sicurezza.

Suggerimento in-app

Quando l'FS a sifonamento è non verificato (rosso) nella scheda Verifiche, portando il mouse sul valore compare un promemoria con questi accorgimenti.

Coefficiente di Bligh \(K\)

Il coefficiente \(K\) (rapporto critico di trascinamento) deve essere coerente con il terreno: da 4 (argille dure e compatte) a 20 (limi/sabbie fini). Valori inferiori a 4 sovrastimano l'FS analitico: usare sempre il valore reale del terreno.

Il valore del reticolo è una stima rappresentativa

Il gradiente di efflusso è mediato sulla zona di efflusso al piede (non il picco sul nodo d'angolo), quindi è stabile rispetto alla griglia. Resta una stima semplificata: per analisi di filtrazione a elementi finiti più dettagliate si veda Analisi della filtrazione (FEM), che esporta il modello verso GFAS.